viernes, 2 de septiembre de 2011

clasificacion de numeros




NUMEROS REALES
En matematicas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los
Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el calculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.
TIPOS DE NUMEROS REALES
Un número real puede ser un numero racional o un numero irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
NUMEROS RACIONALES
Los números racionales son aquellos que expresan el cociente entre dos
Es importante tener en cuenta que, mientras que en los números enteros cada
Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (2/2= 1).
Los números racionales pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos (excepto por cero). El resultado de estas operaciones será siempre otro número racional. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se aplica la Ley de Signos. La forma de concretar las operaciones variará de acuerdo a la existencia o ausencia de igual denominador en las fracciones.
NUMERO IRRACIONAL
En
NOTACION
No existe una notación universal para indicarlos, como que no es generalmente
aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen
ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (), los enteros (), los
racionales (), los reales () y los complejos (), por un lado, y que la es tan
apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de
numeros imaginarios puros lo cual puede crear confusión.
Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.
Importancia:
Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales) podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raiz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:
π (numero "pi"3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diametro e (numero "e" 2,7182 ...):
Φ (numero "aureo" 1,6180 ...):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.- Numero algebraico : Son la solución de alguna ecuacion algebraica y se
representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa
ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones
inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no
exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el numero
aereo es una de las raíces de la ecuación algebraica x2 − x − 1 = 0, por lo que es
 
un número irracional algebraico.
2.-Numero trascendente : No pueden representarse mediante un número finito de
raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes
(trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir
números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo
definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0,193650278443757…
0,101001000100001…
Los llamados Numeros trascendentes tienen especial relevancia ya que no
pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son
irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables es decir, no pueden ponerse en
biyeccion con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números
reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.
 
NOTACION
Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias fisicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de lasmatematicas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Se dice que un número real es recursivosi sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivoes aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "
La notacion matematica se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes . Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y qnatural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 − 12x2 + 6x − 8
Un ejemplo de número trascendente es
 
DESIGUALDES DE NUMEROS RACIONALES
 
números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .1En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchy"Cauchyde números racionales y cortaduras de HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekind"Dedekind.números enteros. La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, 8/12, 69/253).número tiene un siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existen infinitos números entre cada número racional.matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.
las desigualdades racionales, las desigualdades con cocientes de expresiones algebraicas se llaman, desigualdades racionales. Esas desigualdades pueden resolverse de manera muy parecida como se resuelven las desigualdades polinomiales .
ejemplo;
5/x+4
Las desigualdades con cocientes de expresiones algebraicas se llaman
desigualdades racionales. Esas desigualdades pueden resolverse de manera
muy parecida a como se resuelven las desigualdades polinomiales
Ejemplo
5/x+4
NUMEROS REALESnúmeros racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .1En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchy"Cauchyde números racionales y cortaduras de HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekind"Dedekind.números enteros. La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, 8/12, 69/253).número tiene un siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existen infinitos números entre cada número racional.matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.
Las desigualdades racionales
Las desigualdades con cocientes de expresiones algebraicas se llaman
desigualdades racionales. Esas desigualdades pueden resolverse de manera
muy parecida a como se resuelven las desigualdades polinomiales
Ejemplo , escribe una desigualdad equivqlente con un lado 0
5/x+4 >1.
5/x+4-1 >0
escriba el lado izquierdo con una fraccion simple
5/x+4-x+4/x+4 > 0 obtener denominador comun
5-(x+4)/x+4 > 0 resta las fracciones
5-x-4/x+4 > 0 aplica la propiedad distributiva
1-x/x+4>0
El cociente puede cambiar de signo soolo cuando el denominador es 0 o cuando el numerador es 0 ( en terminos graficos, esos son los unicos lugares donde la grafica de
y=1-x/x+4 puede cambiar de arriba del eje x abajo del mismo ) esto sucede cuando 1--x=+ o x+4=0
x=1 o x=-4
escribe una desigualdad equivalente con un lado cero 0
5/x+4 >1
5/x+4-1>0
Escriba el lado izquierdo como una fraccion simple
5/x+4-x+4/x+4x > 0 Obtener denominador comun
5-(x+4)/x+4> 0 resta las fracciones
5-x-4/x+4>0 aplica la propiedad distributiva
1-x/x+4>0
el cociente puede cambiar de signo solo cuando el deniominador es 0 o cuando el numerador es 0 (en terminos graficos, esos son los unicos lugares donde la grafica de:
y=1-x/x+4 puede cambiar arriba del eje x abajo del mismo.) Esto sucede cuand 1-x=+ o x+4=0
 
 
 


 
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En matematicas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los
Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el calculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.
TIPOS DE NUMEROS REALES
Un número real puede ser un numero racional o un numero irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
NUMEROS RACIONALES
Los números racionales son aquellos que expresan el cociente entre dos
Es importante tener en cuenta que, mientras que en los números enteros cada
Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (2/2= 1).
Los números racionales pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos (excepto por cero). El resultado de estas operaciones será siempre otro número racional. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se aplica la Ley de Signos. La forma de concretar las operaciones variará de acuerdo a la existencia o ausencia de igual denominador en las fracciones.
NUMERO IRRACIONAL
En
NOTACION
No existe una notación universal para indicarlos, como que no es generalmente
aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen
ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (), los enteros (), los
racionales (), los reales () y los complejos (), por un lado, y que la es tan
apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de
numeros imaginarios puros lo cual puede crear confusión.
Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.
Importancia:
Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales) podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raiz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:
π (numero "pi"3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diametro e (numero "e" 2,7182 ...):
Φ (numero "aureo" 1,6180 ...):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.- Numero algebraico : Son la solución de alguna ecuacion algebraica y se
representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa
ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones
inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no
exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el numero
aereo es una de las raíces de la ecuación algebraica x2 − x − 1 = 0, por lo que es
 
un número irracional algebraico.
2.-Numero trascendente : No pueden representarse mediante un número finito de
raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes
(trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir
números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo
definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0,193650278443757…
0,101001000100001…
Los llamados Numeros trascendentes tienen especial relevancia ya que no
pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son
irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables es decir, no pueden ponerse en
biyeccion con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números
reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.
 
NOTACION
Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias fisicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de lasmatematicas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Se dice que un número real es recursivosi sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivoes aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "
La notacion matematica se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes . Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y qnatural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 − 12x2 + 6x − 8
Un ejemplo de número trascendente es
 
DESIGUALDES DE NUMEROS RACIONALES
 

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